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一次家庭作业意外搞定40年前的数学预想 只研究了几个礼拜

发布日期:2022-11-17 11:32    点击次数:89

一次家庭作业意外搞定40年前的数学预想 只研究了几个礼拜

只是实现一次艰深家庭作业,就把搅扰了数学家们几十年的预想搞出了新花样?!

没错,这是来自牛津大学的Thomas Bloom的亲身阅历。

在一次浏览小组的论文分享上,他被哀告解读一篇2003年揭橥在《数学年刊》上的经典论文。

这篇论文证明了一个与“最迂腐数学成就”埃及分数无关的预想。

俭朴来说,预想觉得:将大于1的整数随便分成无限个子集,确定有一个子会合的部份整数倒数加起来为1,譬如只需有一个子会合有二、三、6,就有1 = 1/2 + 1/3 + 1/6。

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这一预想被命名为Erd?s-Graham预想。

然而,这版2003年的证明另有良多待经管的猜忌:

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Thomas Bloom在解读论文的过程之中,也缔造这版证明对子集的哀告有点高,良多不凡环境下没步调创建。

再仔细一看,他倏忽缔造,这版证明还存在着可以或许延续改良之处!

是以借着这次交作业的机会,Thomas Bloom在这篇论文的根基上提出了一种“强化版”证明思路,全副过程以至只用了几周时光。

就连数论范畴闻逻辑学者、蒙特利尔大学教学Andrew Granvill都感叹这类做法的可想而知:此前我只是感应,这是一个不克不迭够被经管的成就,任何脑子畸形的人都无法做到。

所以,这一预想毕竟是什么,Bloom的证明编制又毕竟“可想而知”在何处?

一个与“最迂腐数学成就”无关的预想

在数学里,随便有理数均可以或许默示身分数,且分子分母都是整数。

然则在3000多年前的古埃及,他们的分数只要分子为1一种环境,我们往常叫它单位分数。

也便是说,他们的字典里没有“3/4”这类对象,因为3/4也需求被写成1/4+1/2。

古埃及的文字里,一只眼睛上面放一个数字就代表了一个单位分数。

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从1到100万都有响应的图形。

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诚然它和我们往常的数学相去甚远,但着实全体门数均可以或许写成单位分数之和的模式。

是以这类默示编制被称作古埃及分数。

明明,1也可以写成古埃及分数:1 = 1/2 + 1/3 + 1/6。

这个看似俭朴的成就经久不衰,1970年代,闻名数学家Paul Erd?s和Ronald Graham提出了一个对付古埃及分数的预想:把正整数分手红若干个子集,那末确定有一个子会合存在一组数,可以或许把1默示成古埃及分数模式。

一次家庭作业意外搞定40年前的数学预想 只研究了几个礼拜△从左至右顺次为Paul Erd?s和Ronald Graham匹俦

(注:Ronald Graham中文名“葛立恒”,便是提出葛立恒数的那位数学家。)

比喻上面的1 = 1/2 + 1/3 + 1/6,某个子会合包孕这二、三、6这三个数,就能做到。

那末要是很不巧,二、三、6被分派到差别的子会合,还可以或许把1拆成古埃及分数模式吗?

着实也是可以或许的,美容培训中心包孕{二、三、1二、1八、36}一组整数也行:

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默示1的编制千万万,总有吻合条件一组数餍足条件。

达特茅斯学院的数论学者Carl Pomerance对此评价道:“这可以或许是有史以来最迂腐的成就。”

没想到的是,这个最迂腐的成就迩来又收回新芽。

来自牛津大学的数学家Thomas Bloom迩来不仅提出了比Erd?s更凶猛的“强化版”,还亲身证明了它。

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几周就证明了一个“加强版”

那篇近20年前的论文,由一位名叫Ernie Croot的数学家撰写,2003年揭橥在数学范畴顶级期刊《数学年刊》上。

他经管Erd?s-Graham成就的“根基版本”。

把全体整数随机分派到差别的桶里,起码有一个桶必须包孕一组整数,其倒数和等于1。

Bloom仔细浏览后缔造,Croot的编制理论上比最初看起来更富强:“所以我研究了几周,这个更富强的后果就进去了。”

Bloom给出的结论是,着实不需求把整数分成若干个无限鸠合,只需鸠合餍足“正密度”的条件,那末这个鸠合就存在一组整数倒数和为1。

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所谓“正密度”是指某一组整数在全体正整数里所占的比例,比喻偶数的密度是0.5。

假如有一组整数鸠合记作A,在前n项中不大于n的项记作α,当n趋于无量大时,α/n极限便是叫做A的自然密度。

而Bloom提出而条件是密度大于零即可,不管这个密度多低(10%、1%、0.0001%以至更低),这明明比把整数分成无限份的条件更为尖刻。

嗯,充分分化哪怕是“读论文”这类科研作业,也要卖命一点,说不定读着读着灵感就来了(手动狗头)

作者介绍

一次家庭作业意外搞定40年前的数学预想 只研究了几个礼拜

Thomas Bloom,如今在牛津大学举行数学方面的研究事变,获取过英国皇家学会大学研究金,后者专门用于给各范畴精采年轻科学家供应科研资金。

Bloom曾于布里斯托大学获取博士学位,并在剑桥大学举行过博士后相干事变,本科结业于牛津大学数学与哲学业余。

在举行这项研究从前,他也曾经和获取过“数论界最高奖”柯尔奖的牛津大学教学James Maynard合作,实现过一篇对付无方差集的论文。

One More Thing

对付随便有理数,我们均可以或许用俭朴的算法找到古埃及分数默示。

最经常使用的便是贪默算法。

以7/15为例,我们先找到最激情亲切它的单位分数1/3,失去:

7/15 = 1/3 + 2/15

接着寻找最激情亲切残剩项2/15的单位分数,即1/8。顺次类推,直到残剩项也是单位分数为止。

7/15 = 1/3 + 1/8 + 1/120

怎么寻找最激情亲切的单位分数呢?将分母除以分子并向上取整即可。

下列是Python版的代码:

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你能写出别的言语的版本,或是写出别的古埃及分数算法的代码吗?

参考链接:

[1]https://www.quantamagazine.org/maths-oldest-problem-ever-gets-a-new-answer-20220309/

[2]https://twitter.com/thomasfbloom

[3]https://www.youtube.com/watch?v=yBtluQoghXA

[4]https://www.geeksforgeeks.org/greedy-algorithm-egyptian-fraction/

[5]https://en.wikipedia.org/wiki/Erdős–Graham_problem

[6]http://thomasbloom.org/aboutme.html

[7]https://annals.math.princeton.edu/2003/157-2/p04



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